零向量
零向量：大小为零的向量。
零向量也是惟一一个没有方向的向量。
对于其它任意数m，存在无数多个大小（模）为m的向量。它们构成一个圆。
对任意正值m，有无数个向量的大小等于它
向向量
x + (-x) = 0
运算法则
向量的负向量：只要简单的将向量的每个分量都变负即可。
向量变负
-[x y] = [-x -y]
-[x y z] = [-x -y -z]
-[x y z w] = [-x -y -z -w]
几何解释
向量变负，得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量。
向量的大小（长度或模）
向量的大小没有明确表示，需要计算。
向量的大小也称作向量的长度或模。
运算法则
线性代数中，向量的大小用向量两边加竖线表示，这个标量的绝对值在标量两边加单竖线表示类似。
向量大小
向量的大小就是向量各分量平方和的平方根。
2D, 3D 向量的大小
几何解释
向量大小公式的几何解释
标量与向量的乘法
标量与向量不能相加，但能相乘。相乘结果将得到一个向量，与原向量平行，但长度不同可方向相反。
运算法则
标量与向量的乘法非常直接，将向量的每个分量都与标量相乘即可。
向量与标量相乘
应用到3D向量，如：
3D向量与标量相乘
向量也能除以非零标量，效果等同于乘以标量的倒数。
注意
- 标量与向量相乘时，不需要写乘号。将两个量挨着写即表示相乘（常将标量写在左边）。
- 标量与向量的乘法和除法优先级高于加法和减法。
- 标量不能除以向量，并且向量不能除以另一个向量。
- 负向量能被认为是乘法的特殊情况，乘以标量-1。
几何解释
| 向量乘以标量k的效果是以因子** | k | **缩放向量的长度。 |
一个2D向量被多个因子乘的效果
标量化向量
单位向量就是大小为1的向量。
单位向量经常被称作标准化向量或更简单地称为法线。
运算法则
对任意非零向量v，都能计算出一个和v方向相同的单位向量v(norm)。这个过程被称作向量的标准化，要标准化向量，将向量除以它的大小（模）即可。
标准化向量
零向量不能被标准化。数学上这是不允许的，因为将导致除零。几何上也没有意义，因为零向量没有方向。
几何解释
2D环境中，如果以原点为尾画一个单位向量，那么向量的头将接触到圆心在原点的单位圆（单位圆的半径为1）。
3D环境中，单位向量将触到单位球。
2D中的标准化向量
向量的加法和减法
如果两个向量的维数相同，那么它们能相加，相减。结果向量的维数与原向量相同。向量的回减法的记法和标量加减法的记法相同。
运算法则
向量加法的运算法则很简单：两个向量相加，将对应分量相加即可。
两个向量相加
减法解释为加负向量，a-b=a+(-b)。
两个向量相减
注意
- 向量不能与标量或维数不同的向量相加减。
- 和标量加法一样，向量的加法满足交换律，但向量减法不满足交换律。永远有 a+b=b+a，但 a-b=-(b-a)，仅当a=b时，a-b=b-a。
几何解释
向量a和b相加的几何解释为：
平衡向量，使向量a的头连接向量b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的三角形法则。
向量的减法与之类似。
2D向量加减法的三角形法则
三角形法则能扩展到多个向量的情形中。
三角形法则扩展到多个向量
向量能被解释为与轴平行的位移序列。
向量解释为位移序列
一个点到另一个点的向量
通过三角形法则和向量减法解决。
用2D向量减法计算从a到b的向量
距离公式
计算两点之间的距离。
从几何意义上说，两点之间的距离等于从一个点到另一个点的向量的长度。
3D情况：
a到b的距离等于向量d的长度。
3D距离公式
2D中的公式更简单。
2D距离公式
向量点乘
标题和向量可以相乘，两个向量也可以相乘，有两种不同类型的向量乘法。
首先是点乘（内积）。
运算法则
术语点乘来自记法a.b中的点号。与标量与向量的乘法一样，向量点乘的优先给高于加法和减法。
标量乘法和标量与向量的乘法经常可以省略乘号，但在点乘中不能省略。
向量点乘就是对应分量乘积的和，其结果是一个标量：
向量点乘
用连加符号简写为：
向量点乘的连加记法
应用到2D、3D中，为：
2D与3D点乘
几何解释
一般来说，点乘结果描述了两个向量的相似程序，点乘结果越大，两向量越相近。几何解释更加直接。
点乘和向量间的夹角相关
点乘等于向量大小与夹角的cos值的积：
向量点乘的几何解释
如果a、b是单位向量，就可以以避免除法运算。这种情况下，分母是1，只剩下：
计算两个向量的夹角
如果不需要的确切值而只需要a和b夹角的类型，可以只取用点乘结果的符号。
点乘结果的符号可大致确定 的类型
向量大小并不影响点乘结果的符号，所以上表是和a、b无关的。
如果a、b中任意一个为0，那么a.b的结果也等于0.
因此，点乘对零向量的解释是，零向量的任意其它向量都垂直。
向量投影
| 给定两个向量v和n，能将v分解成两个分量：v( | )和v(_ | )。它们分别平行和垂直于n，并满足v=v( | _)+v( | )。一般称平行分量v( | )为v在n上的投影。 |
使用点乘计算投影。
向量的投影
| v( | )计算公式 |
| 只要能够示出v( | )的模，就能够计算出该投影向量的值，利用三角分解求值： |
向量的投影
当然，如果n是单位向量，除法就不必要了。
| 知道v( | )，求v(_ | _)就很容易了，如下： |
向量叉乘
另一种向量乘法称作叉乘（叉积），仅可应用于3D向量。和点乘不一样，点乘得到一个标量并满足交换律，向量叉乘得到一个向量并且不满足交换律。
运算法则
和点乘一样，术语叉乘来自记法a X b中的叉号。这里把叉乘号写出来，不能像标量乘法那样省略它。
叉乘公式为：
叉乘
示例如下：
叉乘的运算优先级和点乘一样，乘法在加减法之前计算。当点乘和叉乘在一直时，叉乘优先计算：a.bXc = a.(bXc)。
因此点乘返回一个标量，同时标量和向量间不能叉乘，所以(a.b)Xc没有定义。
运算a.(bXc)称作三重积。
几何解释
叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量。
向量叉乘
图中，向量a和b在一个平面中，向量aXb指向该平面的正上方，垂直于a和b。
aXb的长度等于向量的大小与向量夹角sin值的积，如下：
叉乘的长度与向量夹角的sin值有关。
| 可以看到， | aXb | 也等于以a和b为两边的平行四边形的面积。 |
叉乘和平等四边形的面积
由经典几何知道可知平行四边形的面积是bh，即底和高的乘积。可以验证这一点，通过把一端的三角形切下来移到另一边，可构成一个矩形。
平行四边形面积
设a、b分别为a、b的长度。
如果a、b平行或任意一个为0，则aXb=0。叉乘对零向量的解释为：它平行任意其它向量。
注意这点和点乘的解释不同
点乘的解释是和任意其它向量垂直。
当然，定义零向量平行或垂直于任意向量都是不对的，因为零向量没有方向。
aXb指向哪个方向呢？
通过将a的头与b的尾相接，并检查从a到b是顺时针还是逆时针，能够确定aXb的方向。
在左手坐标系中
- 如果a和b呈顺时针，aXb指向自己。
- 如果a和b呈逆时针，aXb远离自己。
在右手坐标系中，恰好相反。
- 如果a和b呈顺时针，aXb远离自己。
- 如果a和b呈逆时针，aXb指向自己。
顺时针方向
逆时针方向
注意，探测顺时针还是逆时针时，必须让a的头与b的尾相接。
叉乘最重要的应用就是创建垂直于平面、三角形或多边形的向量。
线性代数公式
下表列出了一些有用的公式。
